2019年5月30日

ミニ四駆の運動と制御-第4章-

[前回のブログ]
[重要なお知らせ(Important notification)]

タイヤスリップ角の定式化


前回のブログでは、コースの壁からの反作用力がミニ四駆に減速をもたらすことを解説しましたが、今回のブログは詳細に現象を理解するため、各タイヤにおけるスリップ角を定式化します。さらに得られた式からミニ四駆のセッティングとの関連性について考察します。

ダッシュ4号キャノンボール
(引用元:タミヤ公式サイト)
なお、今回のブログは安部正人氏の著書『車両の運動と制御』の第3章に記載のスリップ角の導出をより詳細に解説した内容となっています。車両運動を勉強し始めた学生や、学生フォーミュラのシャシー担当の学生にも参考になれば幸いです。

車両仕様パラメータの定義


まず初めに、定式化に必要となるパラメータを定義する必要があります。次の図にパラメータをまとめてみました。基本的な諸元は一般的な乗用車とほぼ同一ですが、自転中心は車両重心ではなく、前後ローラー間ホイールベースの中心にあることに注意してください。

図(1)諸元一覧
それぞれのパラメータは次のように定義しました。また、正負の定義は車両前方、右方向、時計回りをプラスとしています。今回は特に単位は記載していませんが、SI単位系に準拠するとします。

諸元パラメータ一覧
スリップ角は次の二段階で定式化を進めていくこととします。
  1. 各タイヤの自転による移動速度ベクトルの定式化
  2. 各タイヤの公転による移動速度ベクトルとの合成
なお、上記1および2それぞれの定式化では車両の自転中心に固定された車両座標系を前提としていることに注意してください。


タイヤの自転による移動速度ベクトル


最初に自転による移動速度ベクトルのみを定式化します。タイヤの接地点には次の図に示すように速度ベクトルが発生しており、自転中心とタイヤ接地点の距離および角速度から速度ベクトルを求めることができます。

図(2)自転運動による各タイヤの速度ベクトル
ここで、便宜的に図(2)に示す車両座標系(車両前後方向をx軸、車両横方向をy軸)に基づき、図中の速度ベクトルを分解すると図(3)のようになります。

図(3)各タイヤの速度ベクトルの分解
次に図中の四つのベクトルのx方向とy方向成分を求めます。ここで、各タイヤの自転による速度ベクトルの添え字はタイヤの位置を表します。
  • FL : Front Left
  • FR : Front Right
  • RL : Rear Left
  • RR : Rear Right
各タイヤの速度ベクトルの大きさは自転中心とタイヤ接地点の幾何学的関係によって求まり、次式のように表されます。

式群(1)各タイヤの自転速度ベクトルのx軸およびy軸の成分
それぞれのタイヤに発生している速度ベクトルの大きさ、および車両前後方向の中心線とタイヤ接地点中心の成す角度は、車両諸元と自転中心周りの角速度より定式化することができ、次のように表されます。

式群(2)自転速度ベクトルの大きさと角度の正弦・余弦
上記の式群(2)を式群(1)に代入すると、結果的に次のようにシンプルに定式化されることが分かります。

式群(3)整理後の自転速度ベクトルの大きさ
上記式群(3)は自転による速度ベクトルですから、これらに公転による速度ベクトルを足し合わせる必要があります。今回は左右のローラー軸間距離がフロントとリヤで等しいとしているため、公転による速度ベクトルは車両座標系のx軸方向にのみ速度成分を持ちます。つまり式群(4)に示す各x成分に公転の速度Vを足し合わせるだけでOKです。ベクトル合成の結果を次の図(4)に示します。

図(4)自転ベクトルと公転ベクトルの合成
なお、前後で左右のローラーの軸間距離を不等長とした場合、自転の回転中心周りに定常的な車両スリップ角が発生します。このため、もう少し複雑な式になるのですが、労力と時間の都合上、今回のブログでは割愛させて頂きます(汗)。興味のある方はぜひ定式化にチャレンジしてみてください。

さあ、ようやく自転と公転それぞれの速度ベクトル成分を足し合わせる段階まできました。上述の通り、式群(3)に示されている自転速度ベクトルのx成分に速度Vを足せば次の式群(4)を得ます。

式群(4)公転速度V加算後の速度ベクトルの大きさ
各タイヤのx軸とy軸方向成分が導出できたので、あとは式群(4)を使ってスリップ角を求めるのみです。ここでは、三角関数の近似を適用せず、正接の逆関数で各タイヤのスリップ角を求めることとします。

式群(5)各タイヤのスリップ角
安部正人氏の著書『車両の運動と制御』の第3章では、スリップ角が十分に小さいと仮定し三角関数の近似を適用しているため、もっとシンプルな式になります。しかし、ミニ四駆の場合は近似を適用できるほどタイヤスリップ角が小さくなりそうにないため、近似はせず、逆三角関数をそのままにしていることに注意してください。

ところで、ミニ四駆はコースの壁に沿って走行しているため、式群(5)に含まれる公転速度Vは、公転半径Rと自転の角速度ωの積に等しいという束縛条件を持ちます。この束縛条件を式群(5)に導入すれば、最終的に各タイヤのスリップ角は更にシンプルに次のように表されます。

式群(6)各タイヤのスリップ角(束縛条件適用後)
上記式群(6)の最大の特徴は、スリップ角が全て幾何学的な関係として表現されることです。つまり速度とは無関係にスリップ角が決まるのです。ただし、この束縛条件は定常的な旋回運動の時にのみ成立し、コーナーへの進入・脱出時の過渡的な旋回運動では成立せず、タイヤスリップ角は速度依存性を持ちます。

まとめ


今回のブログでは、タイヤスリップ角の定式化について取り組んだ結果、次のことが分かりました。
  • タイヤスリップ角がホイールベースとトレッド幅に依存する
  • タイヤスリップ角は左右間で異なり、その差異はトレッド幅によって決まる
  • 束縛条件を適用すると、タイヤスリップ角の速度依存性が消える
  • ただし、その束縛条件はコーナー進入・脱出時には適用できない
ここで分かったことを元にコーナリング速度の向上策を考えるならば、『トレッド幅を大きく』しつつ『車両のロール運動を誘発するローラーセッティングを施す』ことなどが挙げられます。

トレッド幅を大きくした場合、外側タイヤのスリップ角は減少する一方で内側タイヤのスリップ角は増加してしまいます。そこで、車両のロールを誘発するローラーセッティングとすることで内側タイヤの荷重を減らす(もしくは接地させない)ことで、内側タイヤの影響を小さくする…というのがこのセッティングの狙いです。

今回のブログの内容は理論に終始したため少々難しく感じたかも知れませんが(汗)、次の最終回では空力とミニ四駆の運動の関係性について解説したいと思います。次回ブログの更新もどうぞお楽しみに!

[つづく]

2019年4月28日

ミニ四駆の運動と制御-第3章-

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タイヤと旋回性能を考える


前回のブログではスリップ角の考え方とタイヤ横力の発生メカニズムについて解説しましたが、今回のブログではそのタイヤ横力がミニ四駆の旋回運動にどのような影響を及ぼしているのかを解説します。

ダッシュ3号シューティングスター
(引用元:タミヤ公式サイト)
最近のミニ四駆の公式大会ではマルーンタイヤと呼ばれる低フリクションのタイヤが選ばれることが多いようですが、なぜ低フリクションのタイヤが好んで使われるようになったのか?その技術的な理由についても今回のブログで明かしていきます。

前後で異なる反作用力


一定速度で旋回走行するミニ四駆には慣性力(見かけ上の力である遠心力)が働いており、その慣性力は反作用力の大きさと等しくなります。ここでは簡単な理解のため、いったんタイヤ横力をゼロと仮定してみましょう。下の図は、このような状況下におけるミニ四駆の力関係を示しています。

慣性力と前後の反作用力の関係
この時、ミニ四駆に働くそれぞれの力には、一般的に次の関係が成り立つことになります。
  • 前後の反作用力の大きさは等しい
  • 前後の反作用力のベクトル和の大きさは、慣性力の大きさに等しい
  • 慣性力の大きさは、旋回半径と速さによってのみ決まる
ここで理解しておきたい重要なことは『タイヤ横力がゼロであれば、前後の反作用力は等しくなる』ことです。もし、このような前後の対称性が常に成立すのであれば、反作用力がミニ四駆の旋回性能に及ぼす影響はなくなるのですが、そうはなりません(汗)。

タイヤ横力の存在がその対称性を打ち崩してしまうのです。では、ここで改めてタイヤ横力を図に追加してみましょう。

前後で向きの異なるタイヤ横力が加わる
上の図に示すように、タイヤ横力はコース外向きの力コース内向きの力、二つのタイプに分けることができます。さらにここでポイントとなるのは、これらタイヤ横力の発生している位置(着力点)です。着力点はフロント側とリヤ側に分かれているため、次のようにしてコースの壁に作用します。

フロントのタイヤ横力
  • フロントローラーをコースの壁へと押し付けるように作用する
リヤのタイヤ横力
  • リヤローラーをコースの壁から遠ざけるように作用する

上記のような作用力が慣性力と一緒にコースの壁に作用するため、コースの壁からの反作用力は、フロント側は大きくなり、リヤ側が小さくなってしまうのです。これをミニ四駆における前後反作用力の非対称性と言います。


非対称性が引き起こすデメリット


では、この非対称性がどんなデメリットを引き起こすのでしょうか?ここで改めて、ミニ四駆の旋回を支配する反作用力に着目してみましょう。

反作用力を分力化する
上の図で注目すべき点は、反作用力が車体横方向に平行ではないということです。このため、図に示すようにフロントの反作用力をミニ四駆の前後方向と横方向に分力した時、その前後方向の分力は減速力になります。これに対して、リヤの反作用力は加速力になります。

この節の最初で仮定したように、もし前後の反作用力が等しいのであれば、上述の減速力と加速力は釣り合うために影響はゼロになります。しかし、ミニ四駆に伝わる反作用力は前後では同じではありませんから、その関係は常に『減速力>加速力』となってしまうのです。

ローフリクションタイヤ(引用元:タミヤ公式サイト)
この傾向はタイヤのグリップ力が高ければ高いほど顕著になり、コーナリングスピードは減少しますが、逆にグリップ力を下げることで減速力は小さくなり、より高いコーナリング速度が実現できます。これが公式大会においてローフリクションタイヤで多く使われる理由です。また、タイヤの接地幅を小さくしてもグリップ力が低減しますので、同様にコーナリング速度の向上が期待できます。

実証実験による効果の確認


ここまでは図と文章で解説しましたが『どうもピンと来ない…』という方も少なくないかと思います。実際に自分自身で実証実験ができればベストなのですが、なんと!実証実験の動画を公開している人気ミニ四駆YouTuber、【Woowa】しろっこさんの動画を発見しましたので、ここで紹介させて頂きたいと思います。



しろっこさんの動画では、セッティングによる性能の変化代を同一の走行条件で切り出しています。このため、とても信頼性の高い実証実験となっているのが特徴です。ぜひ参考にしてみてください。また、本動画の掲載に当たり、しろっこさんより事前承認を頂いております。本ブログへの掲載をご快諾頂き、本当にありがとうございました。

まとめ


以下、今回のまとめとなります。
  • タイヤ横力により前後の反作用力は同じにならない
  • フロント側の反作用力はリヤ側より大きくなる
  • 前後非対称の反作用力により、ミニ四駆には減速力が働く
  • タイヤのグリップ力を減らすとコーナリング速度が向上する
次回以降のブログでは、ミニ四駆と空力の関係、そして、どう生かすのがベストなのかを考察します。次回のブログ更新もどうぞお楽しみに!

[つづきはコチラ]

2019年4月6日

ミニ四駆の運動と制御-第2章-

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ミニ四駆に作用する力


前回のブログでは旋回運動の成り立ちとタイヤスリップ角について解説しました。今回のブログでは、ミニ四駆にはどのような力が作用しているのか?これを段階的に解説したいと思います。

ダッシュ2号バーニングサン(引用元:タミヤ公式サイト)
乗用車では地球からの重力や空気抵抗力などの外力を受けますが、その旋回運動はタイヤの発生する横力によって成り立っています。しかし、操舵機能を持たないミニ四駆はコースに沿って走行するため、ちょっと特殊なメカニズムで旋回運動をすることになるのですが、その詳細とは…?

作用・反作用の法則と旋回運動


さっそく次の図を見てみましょう。この図はミニ四駆が半径一定のコースを一定速度で旋回走行している様子を表しています。

コースの壁からの反作用力による旋回
この時、ミニ四駆はコースの壁にローラーを押し付け(作用)ながら走行していますが、コースの壁はミニ四駆をコースに留めようとするためミニ四駆を押し返します(反作用)。これがいわゆる中学校の物理で学習する『作用・反作用の法則』です。

ここでしっかり理解しておきたい重要な点は、乗用車ではハンドル操作によって生み出されたタイヤの横力で旋回運動が始まるのに対して、ミニ四駆は『コースの壁から受ける反作用力により旋回運動をする』(図中の青矢印)ということです。

また、コースの壁に沿って走行するミニ四駆の場合、前後のローラーが受ける反作用力は必ずしも同じ大きさにはならず、フロント側の反作用力が大きくなるという特徴があります。その理由は後述することとして、次節では反作用力に続く第二の力に着目してみましょう。


タイヤ横力の発生メカニズム


ミニ四駆のタイヤは旋回運動に対してどのような働きをしているのでしょうか?乗用車とは違うメカニズムで何らかの力を発生していることは容易に想像できますが、本節ではそのメカニズムを繙いていきます。次の図を見てください。

自転中心は公転軌跡の接線方向に速度を持つ
図に示すようにミニ四駆は公転運動をしているので、ミニ四駆の自転中心は公転軌跡の接線方向に速度ベクトルを持ちます。また、4つのタイヤの中心も車体の一部なので、同じ速度ベクトル(注記)を持ちます。しかし、この図のままだとするとスリップ角が発生しないため、タイヤ横力も発生しないことになってしまいます。

(注記)『タイヤ中心の速度ベクトル』とは車輪速(タイヤの回転する速さ)ではなく、タイヤ中心の移動する速さと方向を意味します。

ここで思い出してもらいたいのは『ミニ四駆は公転運動だけでなく、自転運動も行っている』ということです。ミニ四駆の自転中心から離れているタイヤの中心は、自転運動により刻一刻と位置が変わるので、その速度ベクトルも考慮する必要があるのです。ここではフロントタイヤを例にその速度ベクトルについて解説します。

自転によるタイヤの速度成分
図に示すようにタイヤの中心は自転運動による速度ベクトルを持ち、その方向はタイヤの自転軌跡の接線方向となります。さらに左右のタイヤの速度ベクトル前後方向左右方向にそれぞれ分解してみると、注目すべき点が現れてきます。速度ベクトルの横方向成分が左右タイヤ間で同じ向きであるのに対し、前後方向成分は逆向きになるのです。タイヤのスリップ角が左右で異なるのは、この逆方向の前後速度成分に由来しています。

上述したように、各タイヤは公転運動による速度ベクトルと、自転運動による速度ベクトルを持つので、次の図に示すように二つの速度ベクトルを足し合わせてみましょう。

自転と公転の速度ベクトルを合成
これらの速度ベクトルを合成した結果に注目です。外輪側の左タイヤは小さなスリップ角となるのに対して、内輪側の右タイヤは大きなスリップ角となり、同じにはなりません。このことは左右で発生するタイヤ横力が必ずしも同じにはならないことも意味しており、タイヤやローラーのセッティングを考える上で一つのヒントになりそうです。

(注記)上の図では理解しやすくするため、スリップ角を実際より大きく描いています。

それでは、全てのタイヤの速度ベクトルを図にしてみましょう。リヤタイヤは自転中心よりも後方にあるので、横速度成分がフロントタイヤとは逆になることがポイントとなります。

各タイヤに発生する速度ベクトルの様子
本節の一番最初に紹介した図と異なり、タイヤ中心の速度ベクトルの角度が変化したことで、スリップ角が発生していることが分かります。また、前回のブログで解説したように、スリップ角があれば、タイヤの接地点に発生するのがタイヤ横力でした。そこで上の図にタイヤ横力を描き加えてみると下の図のようになります。

スリップ角によりタイヤ横力が発生する
この図における着目ポイントは、前後でスリップ角の変化方向が異なっており、フロントタイヤの横力が車体をコースの壁に押し付ける方向に作用していることです。このため、フロント側のローラーがコースの壁から受ける反作用力はリヤ側に比べて大きくなってしまうのです。このような状況はデメリットとなりそうですが、どのようなデメリットとなるのか…?その詳細については次回以降のブログで解説していきます。

まとめ


以下、今回のまとめとなります。
  • ミニ四駆は反作用力によって旋回運動する
  • 自転と公転の速度ベクトルの合成によりタイヤの速度ベクトルが決まる
  • タイヤスリップ角は自転の影響で内輪側が大きくなる
  • 反作用力はリヤ側よりフロント側が大きい
前回のブログに比べると少し難易度が高かったかも知れませんが、いかがでしたでしょうか?次回はミニ四駆に加わる力がミニ四駆の運動にどのように作用しているのかを解説します。次回のブログ更新もどうぞお楽しみに!

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